例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.
由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.
方法1：先算空心点，再算实心点：
22+2×2+1.
方法2：把点图看作一个整体来算32.
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
22+2×2+1=32.
方法1：先算空心点，再算实心点：
32+2×3+1.
方法2：把点图看成一个整体来算：42.
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
32+2×3+1=42.
方法1：先算空心点，再算实心点：
42+2×4+1.
方法2：把点图看成一个整体来算52.
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
42+2×4+1=52.
把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：
22+2×2+1=32
32+2×3+1=42
42+2×4+1=52
…
n2+2×n+1=(n+1)2.
利用这个公式，也可用于速算与巧算.
如：92+2×9+1=(9+1)2=102=100
992+2×99+1=(99+1)2
=1002=10000.
速算与巧算
例1 2×4×5×25×54
=(2×5)×(4×25)×54 (利用了交换
=10×100×54 律和结合律)
=54000
例2 54×125×16×8×625
=54×(125×8)×(625×16) (利用了
=54×1000×10000 交换律和结合律)
=540000000
例3 5×64×25×125 将64分解为2、4、8
=5×(2×4×8)×25×125 的连乘积是关键一
=(5×2)×(4×25)×(8×125) 步.
=10×100×1000
=1000000
例4 37×48×625
=37×(3×16)×625 注意37×3=111
=(37×3)×(16×625)
=111×10000
=1110000
例5 27×25+13×25 逆用乘法分配律，
=(27+13)×25 这样做叫提公因数
=40×25
=1000
例6 123×23+123+123×76 注意123=123×1;再
=123×23+123×1+123×76 提公因数123
=123×(23×1+76)
=123×100
=12300
例7 81+991×9 把81改写(叫分解因
=9×9+991×9 数)为9×9是为了下
=(9+991)×9 一步提出公因数9
=1000×9
=9000
例8 111×99
=111×(100-1)
=111×100-111
=11100-111
=10989
例9 23×57-48×23+23
=23×(57-48+1)
=23×10
=230
例10 求1+2+3+…+24+25的和.
解：此题是求自然数列前25项的和.
方法1：利用上一讲得出的公式
和=(首项+末项)×项数÷2
1+2+3+…+24+25
=(1+25)×25÷2
=26×25÷2
=325
方法2：把两个和式头尾相加(注意此法多么巧妙!)
想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?
例11 求8+16+24+32+…+792+800的和.
解：可先提公因数
8+16+24+32+…+792+800
=8×(1+2+3+4+…+99+100)
=8×(1+100)×100÷2
=8×5050
=40400
例12 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位?
解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列.
那么第1排有多少个座位呢?因为：
第2排比第1排多2个座位，2=2×1
第3排就比第1排多4个座位，4=2×2
第4排就比第1排多6个座位，6=2×3
这样，第25排就比第1排多48个座位，
48=2×24.
所以第1排的座位数是：70-48=22.
再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：
和=(22+70)×25÷2
=92×25÷2
=1150.
