一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数(也叫素数).例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.
质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….
例1 ○+(□+△)=209.
在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.
解：209可以写成两个质数的乘积，即
209=11×19.
不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.
这个算式是 11×(17+2)=209，
11×(2+17)= 209.
解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.
一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.
任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如
360=2×2×2×3×3×5.
还可以写成360=23×32×5.
这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.
例2 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少?
解：我们先把5040分解质因数
5040=24×32×5×7.
再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：
24×32×5×7=7×8×9×10.
所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.
利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求一般方法，先看一个简单的例子.
我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.
因为24=23×3，所以24的约数是23的约数(1，2，22，23)与3的约数(1，3)之间的两两乘积.
1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.
这里有4×2=8个，即 (3+1)×(1+1)个，即对于24=23×3中的23，有(3+1)种选择：1，2，22，23，对于3有(1+1)种选择.因此共有(3+1)×(1+1)种选择.
这个方法，可以运用到一般情形，例如，
144=24×32.
因此144的约数个数是(4+1)×(2+1)=15(个).
例3 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.
解：有8=7+1; 8=(3+1)×(1+1)两种情况.
(1)27=128，符合要求，
37>150，所以不再有其他7次方的数符合要求.
(2)23=8，
8×13=104， 8×17=136，符合要求.
33=27;
只有27×5=135符合要求.
53=135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.
利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如
720=24×32×5，168=23×3×7.
那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是
23×3= 24.
在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是
24×32×5×7=5040.
例4 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少?
解：180=22×32×5，
30=2×3×5.
对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2;从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是
90=2×32×5.
就知道另一数是
22×3×5=60.
还有一种解法：
另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找
30， 60， 90， 120，….
这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.
